• 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Wielcy matematycy

 

 

Wykonywaliśmy szereg zadań... Każde kolejne coraz bardziej uświadamiało nam, ile matematyki jest wszędzie, jak ogromne jest jej znaczenie i zastosowanie. 

 Po każdym zadaniu wykonywaliśmy prezentacje multimedialne, podsumowujące zebrane przez nas informacje. 

 

 

Zadaniem uczniów było wyszukanie w różnych źródłach informacji danych dotyczących życia i odkryc Pitagorasa,Talesa, Archimedesa, Galileusza.

Stworzyli albumy i prezentacje multimedialne dotyczące życia i twórczości Wielkich Matematyków. 

 

Pitagoras

 

 

 

Urodził się około 572r.p.n.e na wyspie Samos. Około 532r.p.n.e opuścił wyspę. Wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie. Zachowane tabliczki z pismem klinowym świadczą o tym, że twierdzenie, nazwane później twierdzeniem Pitagorasa było znane Babilończykom na długo przed Pitagorasem, ale prawdopodobnie Pitagoras je udowodnił. W Krotonie założył związek pitagorejski i słynną szkołę pitagorejską.Pitagorejczycy zajmowali sie głównie geometria i teorią liczb.Tu narodziły się i zostały skutecznie rozwiazane trzy wielkie problemy matematyki starożytnej: podwojenie sześcianu,trysekcja kąta(czyli jego podział na trzy części) oraz kwadratura koła-warunek, aby konstrukcje te wykonac za pomocą samego cyrkla i linijki, pojawił sie dopiero w czasach Platona. Religijno-polityczny związek zyskał później nazwę szkoły pitagorejskiej i przetrwał do IVw.p.n.e.  Z literatury filozoficznej Greków wynika, że Pitagoras jako pierwszy użył okres myślenia filozofia w rozumieniu "miłość mądrości", dla podkreślenia, że mądrość jest rzeczą boską, a tylko umiłowanie jej jest dostępne dla ludzi. Zmarł około 497r.p.n.e .

Pitagoras nie zostawił po sobie żadnych pism. O jego dokonaniach dowiadujemy się z dzieł filozofów greckich żyjacych ponad 200 lat później. Poza filozofia interesował sie astronomią i medycyną . Po rozpadzie Związku Pitagorejskiego spowodowanego odkryciem liczb niewymiernych Pitagoras został wypędzony z Krotony, jego szkoła została spalona, a on sam do końca zycia przebywał na wygnaniu w Metaponcie. Jednak idee pitagoreizmu przetrwały jeszcze kilka stuleci i wywarły trwałe piętno na rozwój nauki

Dawnym pitagorejczykom (Philolaos, Archytas, Alkmeon) zawdzięczamy rozważania nad stosunkami ilościowymi tonów oraz astronomiczny obraz świata. Według tego obrazu wszechświat składa się z ognia centralnego, dokoła którego krążą: Słońce, Księżyc, 5 pierwszych planet: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz. Ziemia zaś i jakaś niewidoma dla nas przeciw Ziemia (razem 10 ciał; liczba 10 była według P. liczbą doskonałą). Pitagorejczycy przyjmowali też tak zwaną harmonię sfer. W pierwszym wieku po Chrystusie światopogląd pitagorejski odżył jako tzw. neopitagoreizm. Dla uczczenia swojego nauczyciela wiele własnych odkryc pitagorejczycy nazywali jego imieniem. 

Twierdzenie PitagorasaJezeli trójkat jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokatnych (czyli suma kwadratów  długości przyprostokatnych) jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokatnej(czyli kwadratowi  długości przeciwprostokatnej).

Trójkat o bokach 3,4 i 5 to pitagorejski trójkąt prostokatny.

 

.

 

Archimedes

 

 

 

(ok. 287-212 p.n.e.)grecki  filozof przyrody, najwybitniejszy fizyk i matematyk starożytnej Grecji, jeden z najsławniejszych starożytnych uczonych. Urodził się w Syrakuzach na Sycylii. Uczył się prawdopodobnie w Aleksandrii u uczniów Euklidesa. Po powrocie do Syrakuz pracował nad zagadnieniami matematycznymi, mechaniką, hydroakustyką, optyką. Zajmował się różnymi dziedzinami nauki, m. in. hydrostatyką, arytmetyką, geometrią, astronomią, mechaniką, optyką. Sformułował i udowodnił wzory na pole powierzchni i objętość walca, kuli i czaszy kulistej, rozważając w tym celu pola powierzchni i objętości brył powstałych przez obrót dookoła średnicy okręgu wielokątów wpisanych i opisanych na okręgu. Wiedzę matematyczna i fizyczną stosował do konstrukcji różnych machin i urządzeń.Urządzenie zwane śrubą Archimedesa  służyło do nawadniania pól, np. w Egipcie, Aleksandrii.Współcześnie wykorzystywane jest w wielu urządzeniach technicznych.

Szukajac sposobu ustalenia zawartości czystego złota w koronie króla Hieronima II, dokonał odkrycia prawa wyporu, które nosi nazwę prawa Archimedesa.Jak głosi legenda, Hieron II, król Syrakuz zamówił dla siebie koronę z czystego złota. Władca nie dowierzał jednak złotnikowi. Posądzał go o to, że koronę wykonał ze srebra i z zewnątrz tylko pozłocił. Zwrócił się wtedy do przebywającego na jego dworze Archimedesa, aby ten sprawdził jego przypuszczenie, nie niszcząc pięknej korony. Archimedes długo myślał nad tym zadaniem, niestety bez skutku. Zastanawiał się nawet nad tym w kąpieli. Siedząc kiedyś w wannie zauważył, że ciała zanurzone w cieczy wydają się lżejsze. W tym momencie przyszło nań olśnienie. Z okrzykiem: eureka! (znalazłem!) Archimedes ponoć wyskoczył z wanny i w stroju mocno nie kompletnym pobiegł przez miasto do swego króla, aby mu zakomunikować o rozwiązaniu problemu. Jeśli więc wierzyć legendzie, to dzięki zadaniu króla Hierona Archimedes odkrył ważne prawo, zwane dziś prawem Archimedesa, które stanowi dziś podstawę teorii pływania ciał.

 
Prawo Archimedesa:
Każde ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na ciężarze tyle, ile wynosi ciężar cieczy wypartej przez to ciało
 
 

Tales z Miletu żył w latach ok. 640-546 p.ne.Zajmował się filozofią, matematyką, astronomią.Był jednym z "siedmiu mędrców" Grecji.Uważany jest za ojca matematyki greckiej.Będąc już w podeszłym wieku wybrał sie do Egiptu, aby rozszerzyc swoje wiadomości z zakresu matematyki i astronomii. Mierzył tam wysokości piramid z a pomocą długości cienia. talesowi przypisywano szereg twierdzeń z geometrii. Uważa się go również za twórcę tzw.szkoły jońskiej.Zapoczatkował on systematyczną rozbudowę pojęc i twierdzeń geometrycznych. Jego działalnośc dała podstawy nie tylko nowoczesnej matematyki, lecz także nowoczesnej wiedzy i filozofii.

Jednym z twierdzeń geometrii elementarnej, sformułowanej przez Talesa, jest twierdzenie o następujacej treści: "Jeśli ramiona kąta przeciąc dwiema równoległymi, to długosci odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta." 

 

 

 

 

 

Drukuj artykuł
Ewa Wallis, Aktualizacja: 26-06-2012 22:37:51

Liczby w matematyce

 
Współczesny człowiek posługuje się liczbami od wczesnego dzieciństwa. Uczniowie wyszukiwali w różnych źródłach informacji własności liczb: trójkatnych, pitagorejskich, doskonałych, bliźniaczych.Na podstawie zebranych informacji wykonali prezentacje mulimedialną i przedstawili na forum szkoły.
  •  liczba trójkątna-liczba "punktów trójkątnych", czyli punktów rozmieszczonych na obwodach kolejnych, coraz wiekszych trójkatów. To liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych:  Tn=1+2+3+…+(n-1)+n.   Kolejne liczby trójkątne to:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
  •    Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta   foremnego, np. liczba 6  może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ulożone w więcej niż 1  wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową.Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy.
  • Liczba pierwsza - liczba większa od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 i dana liczba.Liczby 0 i 1 nie sa ani pierwsze ani złożone.
  •  Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych).Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128, 33550336, 8589869056 i 137438691328. W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.
  • Liczba palindromiczna-liczba, którą czyta się tak samo normalnie i wspak, np.121
  •  
  •   Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2.  Przykłady to:3 i 5 , 5 i 7 , 11 i 13 ,17 i 19 , 29 i 31 , 41 i 43 ,59 i 61 , 71 i 73. Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7  Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza liczb  pierwszych bliźniaczych.

              Największe znane dziś liczby bliźniacze to 16869987339975 · 2171960 ± 1

  •    Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).

               Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ:

            220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284)   284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110            (dzielniki 220).

               Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o                                                                       różnej     parzystości.

  •   Liczby lustrzane - to tak para liczb, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności (lustrzane odbicie). Przykłady: 68 i 86, 17 i 71, 13 i 31,107 i 701.

             Ciekawą cechą takiej pary jest to, że jeżeli utworzymy z niej jedną liczbę, np z 107 i 701 utworzymy 107701,      to

              taka liczba jest zawsze podzielna przez 11.

  •    Trójka pitagorejska a. liczby pitagorejskie – w teorii liczb to takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają tzw. równanie Pitagorasa.Przykłady trójek pitagorejskich: 3,4,5;      5,12,13;     6,8,10.

 

 

 

 

 

 

Drukuj artykuł
Ewa Wallis, Aktualizacja: 26-06-2012 22:16:10

Matematyka w przyrodzie

 

Wybraliśmy się na piesza wycieczke po Żychlinie w celu obserwacji otaczającej nas przyrody.Dostrzegliśmy symetrie osiowe, środkową oraz złotą proporcję.Po zebraniu  informacji z róznych źródeł  wykonaliśmy prezentację w Power Point.

Matematyka ma duze znaczenie dla poznania i zrozumienia otaczajacego nas świata.Jest wszechobecna. W przyrodzie można ja spotkac zarówno w kształtach fizycznych struktur oraz w przebiegu zdarzeń dynamicznych.

 

"Wszystkie zjawiska natury są tylko matematycznymi konsekwencjami niewielkiej liczby niewruszonych praw."
Pierre Simon de Laplace

Matematyka ma duże znaczenie dla poznania i zrozumienia otaczającego nas świata.Jest wszechobecna.

W przyrodzie można ją spotkać zarówno w kształtach fizycznych struktur oraz w przebiegu zdarzeń dynamicznych.
Człowiek od zawsze obserwował przyrodę, zachwycał się jej pięknem.Starał się zrozumieć i opisać występujące w niej zjawiska, zdarzenia, kształty. Do tego używał różnych narzędzi, w tym z dziedziny matematyki

Symetria w wodzie

Tafla wody stanowi idealny model płaszczyzny symetrii odbiciowej. Ale środowisko wodne umożliwia bystremu obserwatorowi zauważenie wielu innych zjawisk z symetrią w tle.

 

Liczydło górskie

Ta piękna roślina (streptopus amplexifolius) z grupy konwaliowych nie bez powodu nosi swoją matematyczną nazwę. Jej owoce przywodzą na myśl ułożone w rzędach dziesiętnych koraliki szkolnego liczydła. Pochodzi z Ameryki Południowej. Jest unikatowa w skali Europy, rośnie jednak m.in. na Dolnym Śląsku - w sudeckich lasach, głównie w Karkonoszach i Kotlinie Kłodzkiej.  Roślina kwitnie na przełomie maja i czerwca, a pełnię krasy osiąga w okresie owocowania pod koniec lata

 

Spiralny świat muszli

Jedną z bardziej interesujących realizacji matematycznych idei w przyrodzie są muszle wytwarzane przez liczne gatunki mięczaków. Od milionów lat pojawia się na nich wciąż ten sam charakterystyczny rysunek spirali równokątnej, zwanej także spiralą logarytmiczną lub geometryczną

 

 

 

 

Kształt spirali równokątnej jest ściśle związany ze złotym podziałem (dlatego czasem nazywa się ją złotą spiralą) i liczbami Fibonacciego - co wyraźnie pokazuje rysunek obok - boki kolejnych kwadratów, w które wpisano ćwiartki łuków okręgów, są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego (pamiętajmy, że stosunki kolejnych coraz dalszych liczb Fibonacciego coraz lepiej przybliżają liczbę złotą

 

 

Występuje w nich "złota proporcja", to jest taki podział odcinka na dwie części, w którym stosunek całego odcinka do większej części podziału równy jest stosunkowi większej części do mniejszej. Począwszy od czasów starożytnych podział ten uznawany był za kanon piękna i chętnie wykorzystywali go w swoich dziełach artyści (architekci, rzeźbiarze, malarze a nawet muzycy

 

Pięciokąty foremne w ogrodzie

Złoty podział- to jest taki podział odcinka na dwie części, w którym stosunek całego odcinka do większej części podziału równy jest stosunkowi większej części do mniejszej. Występuje też powszechnie w przyrodzie, a zwłaszcza tam, gdzie występują foremne pięciokąty. W takim stosunku pozostają przekątna i bok w pięciokącie foremnym, w takim stosunku dzielą się przekątne pięciokąta foremnego wypukłego (czyli boki pentagramu), taki stosunek daje promień okręgu i długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.Począwszy od czasów starozytnych podział ten uznawany był za kanon piekna i chetnie wykorzystywali go w swoich dziełach artyści (architekci, rzezbiarze, malarze, s nawet muzycy. Johannes Kepler uważał, że dwa największe skarby geometrii to twierdzenie Pitagorasa oraz właśnie złoty podział odcinka.

Bogactwo pięciokątów foremnych w świecie roślin kwiatowych

Okazuje się, że rośliny o 5-płatkowych kwiatach dominują w przyrodzie . Wszystkie mają tę własność, że odległość między co drugim płatkiem podzielona przez odległość między sąsiednimi platkami jest liczbą złotą

Symetryczny świat motyli

W świecie przyrody ożywionej symetria nie jest przypadkiem. Wśród zwierzat dominują okazy o jednej płaszczyźnie symetrii, u większości gatunków  wykształconej przez ewolucję (choć im organizm jest wyżej zorganizowany, tym częściej symetria jest łamana np. u człowieka organy nieparzyste występują asymetrycznie, np. serce po lewej, wyrostek po prawej). Chyba żadne inne zwierzę nie realizuje w sposób tak doskonały idei symetrii osiowej w przyrodzie jak motyle

Plastry miodu zaklęte w kamieniu

Wiadomo, że z wielokątów foremnych płaszczyznę wypełniają szczelnie tylko trójkąty, kwadraty i sześciokąty. Wiadomo też, że im więcej boków ma wielokąt foremny, tym mniejszy jest jego obwód przy ograniczeniu tej samej powierzchni. Przyroda często wykorzystuje te własności geometryczne sześciokąta.

Plaster miodu

Pszczoły budują z wosku komórki w kształcie prawidłowych graniastosłupów sześciokątnych. Graniastosłupy takie nie tylko szczelnie wypełniają przestrzeń, tworząc charakterystyczny "plaster miodu", ale jednocześnie zużywają najmniejszą ilość budulca.

 

 

Drukuj artykuł
Ewa Wallis, Aktualizacja: 26-06-2012 22:14:34

    Matematyka w architekturze

     

     

    Bez matematyki, nigdy nie powstałyby budowle. Nikt z nas wcześniej nie zastanawiał się jakiego kształtu jest budynek, dach, okno... teraz patrzymy na architekturę zupełnie inaczej.

     

    Uczniowie wykonali przezentację multimedialną  ukazującą  matematykę i architekturę w budowlach powstałych w różnych epokach.

    Matematyke mozna odnaleźc wszędzie. Przechodzimy obok niej, często nie uświadamiając sobie jej obecności. Jednym z wielościanów wykorzystywanych w architekturze juz od czasów starożytnych jest ostrosłup czworokatny, czyli piramida.Najsłynniejsze i największe wzniesiono w Gizie ponad 2 tysiące lat p.n.e.Piramida Cheopsa jest największym ostrosłupem prawidłowym czworokątnym, ma podstawę o boku 230 m i wysokośc 147 m. W podstawie ma kwadrat, a jego ściany są przystającymi trójkatami równoramiennymi. Na zbudownaie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15t.W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416 czyli jest to przybliżenie pi z dokładnoscia czterech miejsc po przecninku.  

    Najsłynniejsza piramidą w Europie jest ta zbudowana pod koniec lat 90. wieku XX na dziedzińcu paryskiego Luwru. Jej podstawe stanowi kwadrat o boku 35 m, aściany zbudowane sa ze szklanych płt w kształcie trójkatów i rombów.

     

     

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 26-06-2012 22:36:40

    Złoty podział

    Wyszukiwalismy informacji na temat "złotego podziału "

     

    Złoty podziałpodział harmonicznyzłota proporcjaboska proporcja– podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i wynosi w przyblizeniu 1,618.Definicja powyższa sformulowana została po raz pierwszy w starożytnej Grecji, a jej opracowanie przypisuje się Pitagorasowi lub jego uczniom. Wiadomo jedynie, że Złota Reguła została matematycznie opisana przez Eulkidesa 

    Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 26-06-2012 22:31:49

    Matematyka w fotografii i muzyce

      Twierdzenie Talesa może być stosowane w fotografii. Jeżeli mamy podane wymiary rzeczywiste obiektu, wymiary ze      zdjęcia i odległość soczewki od błony fotograficznej, to możemy obliczyć w jakiej odległości od obiektu znajdował się aparat. Twierdzenie Talesa można zastosować także przy wyznaczaniu wielkości obrazu na ekranie. Obraz jest wyświetlany z aparatu projekcyjnego. Znając odległość aparatu projekcyjnego od ekranu, wielkość obrazu w aparacie projekcyjnym oraz odległość obrazu na saidzie od środka soczewki, możemy obliczyć wielkość obrazu na ekranie.

     

    Początkujący fotoamatorzy kadrując zdjęcia, umieszczają często główny motyw fotografii w centrum kadru – tam bowiem autofocus zazwyczaj "łapie" ostrość. Jednak taki sposób kadrowania sprawdza się tylko w nielicznych przypadkach. Umieszczenie motywu poza środkiem obrazu nadaje zazwyczaj kompozycji zdjęcia silniejszy wyraz, niż gdyby obiekt znajdował się dokładnie w centrum.
    Jednym ze sposobów uzyskiwania obrazu o dużych walorach estetycznych jest stosowanie – "stworzonej" przez naturę, a wykorzystywanej od wieków w malarstwie czy architekturze – reguły złotego podziału. Ideą tej zasady jest określona (stała, wynosząca w przybliżeniu 1,618) proporcja podziału – np. boku kadru – na dwie części w taki sposób, aby stosunek całości do dłuższej części był taki sam, jak dłuższej części do krótszej. Podczas robienia zdjęć trudno się jednak trzymać rygorystycznie tak ścisłej, matematycznej definicji.

     

    Na szczęście nie musimy precyzyjnie obliczać podziałów, gdyż wystarczy jedynie przybliżenie, aby tak skomponowane zdjęcie sprawiało przyjemne, harmonijne wrażenie. Dlatego też, aby ułatwić sobie życie, w fotografii wykorzystuje się uproszczoną wersję złotego podziału – trójpodział. W metodzie tej obraz dzielimy na równe części za pomocą dwóch linii poziomych i dwóch pionowych. Dzięki temu uzyskujemy dziewięć jednakowych obszarów, a na przecięciach linii cztery punkty, które nazywamy mocnymi punktami obrazu.

     Najlepsze efekty daje jednak wykorzystanie złotego podziału w kadrach o proporcjach boków wyznaczonych przez tę samą regułę – czyli zbliżonych do najczęściej spotykanego w cyfrowych lustrzankach standardu 3:2.

    W przypaku matematyki w muzyce to powstały graficzne prezentacje matematycznych wartości nut :całej nuty, półnuty, ćwierćnuty, ósemki i szesnastki, działań polegających na dodawaniu nut oraz wzorów informujących, jaki ułamek całej nuty stanowią nuty pozostałe. Uczniowie zapoznali się z pojęciami :  metrum i takt, określili funkcję ułamków na pięciolinii. Wśród wielu instrumentów muzycznych odnaleźli te, których kształty przypominają płaskie figury geometryczne lub bryły. Przedstawili  np: trólkąt, tamburyn, bęben, gong. Wyjaśnili także pochodzenie takich nazw jak duet, trio, tercet, kwartet, kwintet, sakstet, oktet.

     

    Łączenie muzyki z matematyką, nie jest czymś nowym. Przykładem może tu być Euklides, który podał uzasadnienie poglądu o wzajemnym przyporządkowaniu liczb i dźwięków, a także wskazał na istotne motywy takiego ujęcia. Rozpatrywano wówczas podstawową cechę dźwięku – jego wysokość, a jej zmiany mogły być dokonywane poprzez „dodawanie” lub „odejmowanie ruchu”, co również miało wyraz liczbowy i świadczy o odniesieniu całego zagadnienia na grunt matematyczny. Platon omawia kolejno arytmetykę, geometrię, astronomię i muzykę, podkreślając ich przydatność oraz wzajemne zależności. W szczególny sposób podkreśla związek muzyki z astronomią, który jednak jest natury matematycznej. Także u Arystotelesa spotykamy się z matematycznym rozumieniem muzyki, która znalazła swoje miejsce w ogólnej klasyfikacji dyscyplin filozoficznych, obejmujących wówczas podstawowy zespół nauk.

    Problem łączenia nauczania matematyki w nauczaniu innych przedmiotów w tym także muzyki podjął Zbigniew Semadeni. Muzykę z matematyką najsilniej łączy pojęcie rytmu, matematycznym odpowiednikiem rozmaitych aspektów tego pojęcia są:
    · wielokrotność liczby, działanie mnożenia oraz dzielenia z resztą,
    · przesunięcie figury geometrycznej odpowiadające powstawaniu danej figury rytmicznej,
    · ułamki (podział takty na części)(4).
    Zb. Semadeni doszukał się również związku nutowego z osią liczbową


    Wspomagając nabywanie umiejętności matematycznych muzyka może stanowić pomoc między innymi w procesie kształtowania pojęć liczbowych, w posługiwaniu się nazewnictwem matematycznym, w kształtowaniu poczucia czasu, pojęcia kierunku, wyobrażenia figur, w orientacji dotyczącej stosunków czasowych i przestrzennych, w posługiwaniu się symbolami, w określeniu położenia w przestrzeni, w wyodrębnianiu i w opisywaniu cech wielkościowych, klasyfikowaniu przedmiotów według cech jakościowych, jak również w posługiwaniu się liczbą.

    Podczas lekcji muzyki, uczeń doskonali również umiejętności liczenia, dzieje się to wówczas, gdy ma do czynienia z układem rytmicznym, z następstwem określonych dźwięków, które można policzyć. Położenie nut na pięciolinii, choć umowne daje w rezultacie określoną wysokość dźwięku, którą też można przyrównać do liczb, np. do-1, re-2, mi-3 itd. Tak matematyka jak i muzyka mają odmienny, ale umowny język i symbolikę (znaki dodawania odejmowania, równości i wartości nut, pauz itp.)
     Tak treści muzyczne jak i matematyczne należy wprowadzać systematycznie, w logicznym porządku, zgodnie z zasadą stopniowania trudności

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 26-06-2012 21:58:34

    Statystyka częścią matematyki

     

    Średnia arytmetyczna jest najcześciej stosowaną średnią w analizie statystycznej. Pozwala ona na ustalenie przeciętnego poziomu zjawiska.Średnia arytmetyczna może byc obliczona wówczas, gdy badana cecha statystyczna jest cechą statystyczną mierzalną  ze zmiennoscia (ciagłą lub skokową). Nie jest możliwe obliczenie średniej arytmetycznej dla cech niemierzalnej, np.średniej płci uczniów, czysrdniego koloru ich oczu.

    Średnia arytmetyczna jest to suma wartości cechy wszystkich jednostek objętych badaniem podzielona przez liczbę jednostek tworzących badaną zbiorowośc stystyczną.

    Sa sytuacje, gdy interesujące jest zagadnienie , jaka wartośc cechy mierzalnej w badanej zbiorowości jest wartością najcześciej posiadaną przez poszczególne, wchodzace w jej skład, jednostki statystyczne, czyli jaka wartośc cechy jest najbardziej dla nich typowa.

    Odpowiedzi na takie pytanie  nie da średnia arytmetyczna, udzieli jej natomiast inna średnia zwana dominantą 

    Dominanta(moda, wartośc typowa, wartośc modalna) jest to wartośc cechy, która najcześciej występuje w badanej zbiorowości.

    Dominanta jest ta wartośc cechy, którą ma największa liczba jednostek.

    Mediana(wartośc środkowa) jest to wartośc wyrazu środkowego w uporządkowanym szeregu statystycznym

    Z definicji mediany wynika, że dzieli ona szereg na dwie równe części, zatem wartośc cechy mniejsza i wiekszą niz mediana ma taka sama liczba jednostek.

    Sposób obliczania mediany zależy od rodzaju szeregu statystycznego, w którym przedstawiono informacje o wartości cechy statystycznej, a także od tego, czy liczba jednostek statystycznych jest parzysta, czy nieparzysta.  

    Graficzna prezentacja danych statystycznych oznacza obrazowanie ich za pomoca wykresów.

    Wykres jest wtórym przedstawieniem danych liczbowych zawartych w tablicy statystycznej.W różnej formie sporządzony wykres znacznie skuteczniej przyciąga uwagę na wystawie, w czasopismie czy książce, aniżeli zbiór danych zawart w tablicy czy nawet pojedynczym szeregu statystycznym. Jest również czynnikiem ułatwiającym analizę.Wśród wykresów wyróżnia się : liniowe, powierzchniowe, obrazkowe, w układzie wspólrzednych, kartogramy.

     

     

     

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 23-06-2012 15:42:31

    Symetria

     

    Zauważyliśmy, że os symetrii jest w codziennym życiu- w sposobie budowy zamków, w ogrodach, znakach drogowych, rondach oraz witrażach i wielu innych

     

    O prostej mówimy, że jest osią symetrii figury, wtedy gdy ta figura i figura do niej symetryczna względem prostej pokrywaja się.

    Figurę mającą oś symetrii nazywamy - figurą osiowosymetryczną.

    Symetria osiowa jest izometrią.

    Symetria osiowa, jak każda izometria, zachowuje kształt figury i jej wymiary.Oś symetrii ma wiele przedmiotów w naszym otoczeniu. Architekci projektuja budowle, które maja oś symetrii.Podziwiamy symetryczne choinki. Podobaja nam się symetryczne samochody.

     

     

    Symetria osiowa

    Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym każdemu punktowi przyporządkowany jest punkt A', leżący na prostej prostopadłej do tej prostej k przechodzącej przez punkt A w tej samej odległości od k co punkt A, ale po drugiej stronie prostej k. Prostą k nazywamy osią symetrii.

     

     

     

     

    Posiadanie osi symetrii wśród wielokątów: 
    trójkąt równoramienny - 1 oś symetrii, 
    trójkąt równoboczny - 3 osie symetrii, 
    kwadrat - 4 osie symetrii,
    prostokąt - 2 osie symetrii,
    romb - 2 osie symetrii, 
    równoległobok - nie posiada osi symetrii
    trapez równoramienny - 1 oś symetrii, 
    deltoid - 1 oś symetri.

     

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 26-06-2012 22:29:57

    Największy kościół w Polsce

    Bazylika Matki Bożej Bolesnej Królowej Polski w Licheniu Starym

    Bazylika Matki Bożej Bolesnej Królowej Polski – obecnie największy kościół w Polsce,  znajdujący się w województwie wielkopolskim w miejscowości Licheń Stary niedaleko Konina. Położony jest na terenie sanktuarium maryjnego, ważnego katolickiego ośrodka religijnego w kraju. Budowlę wzniesiono dla upamiętnienia objawień z lat 1813 i 1850-1852, których świadkami byli Tomasz Kłossowski i Mikołaj Sikatka. 

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 23-06-2012 21:22:39

    Sondaż uliczny

     

     

    Postanowiliśmy przeprowadzić wywiad w naszej miejscowości ze znajomości matematyki. Chcemy zobaczyć co z lekcji matematyki pamiętają osoby starsze od nas. Odpowiedzi były zaskakujące. Ale ucieszyło nas to, że dużo ludzi odpowiedziało poprawnie na zadające im pytania. A oto wyniki naszej ankiety.

    1.       W jaki sposób wykorzystuje Pan/Pani matematykę w życiu codziennym?

    Usłyszeliśmy:

    Przy obliczaniu składników na ciasto, przy obliczaniu materiałów potrzebnych na remont mieszkania, przy obliczaniu składek, jadąc samochodem ograniczenia prędkości, przy obliczaniu VAT-u

    2.       Jakie zna Pan/Pani zbiory matematyczne?

    Usłyszelismy:

    Zbiór liczb naturalnych, Zbiór liczb całkowitych, Zbiór liczb wymiernych, Zbiór liczb niewymiernych, Zbiór liczb rzeczywistych, nie pamiętam

    3.Jaki kształt mają bloki w naszej miejscowości?

    A oto odpowiedzi:

    Prostokątne, klocki, sześciany, prostopadłościany

    4.  Ile boków ma koło?

    Odpowiedzi:

    Nie ma, zero, nie pamiętam

     5. Jaki kształt ma piramida Cheopsa?

    Usłyszeliśmy:

    Trójkąta, ostrosłupa

    6. Kto ułożył Twierdzenie Pitagorasa?

    odpowiedzi:

    Pitagoras, nie mam pojęcia, Tales

    7. Jaki kształt mają znaki zakazu?

    Koła okręgu, ośmiokąta

    8. Skąd pochodzi Tales?

    Miletu, Grecji, nie mam pojęcia

    9.Ile wynosi miara wszystkich kątów w prostokącie?

    360

     

    Wszystkim ankietowanym dziękujemy za poświęcony nam czas

     

     

     

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 30-06-2012 09:59:07

    Wywiady z naszymi nauczycielami

    Przeprowadziliśmy wywiady z nauczycielmi naszej szkoły na temat zastosowania mtematyki w nauczanym przez nich przedmiocie.

    A oto co usłyszeliśmy:

     

     

    Wywiad młodzieży  z nauczycielem przedmiotów ekonomicznych

    Dzień dobry. Czy możemy przeprowadzi z Panią wywiad?

    1.       Jak się Pani pracuje w naszej szkole?

    Bardzo dobrze. Panuje w niej niepowtarzalna atmosfera, szkoła ma swój klimat.

    2.       Czy praca z młodzieżą sprawia Pani  przyjemność?

    Oczywiście, że tak. Gdyby nie to pewnie pracowałabym już w innym zawodzie.

    3.       Jakie cechy ceni sobie Pani najbardziej w uczniach?

    Kreatywność, otwartość na zmiany, nowości, świeżość umysłów, zdolność do podejmowania nowych wyzwań bez lęków, zahamowań, przedsiębiorczość. Młodzież w dzisiejszych czasach jest bardzo przedsiębiorcza, za co ją cenię.

    4.       Czy matematyka jest potrzebna  w życiu każdego człowieka?

    Matematyka jest „Królową Nauk”, więc nie można jej odebrać wagi roli jaką spełnia w naszym życiu. Wykorzystujemy ją na co dzień, nie zdając sobie z tego sprawy.

    5.       Czy matematyka pomaga zrozumieć  życie?

    Myślę, że tak. Matematyka uczy logicznego myślenia,

    6.       Jakie jest zastosowanie matematyki w nauczanym przez Panią przedmiocie?

    Duże. Ekonomia jest zaliczana do nauk społecznych, ale jest nauką interdyscyplinarną - korzysta z dorobku innych nauk i dziedzin, w tym matematyki. Ekonomia teoretyczna korzysta z matematyki na zasadzie prostych działań – dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, procenty, funkcje, wykresy, ale ekonomia matematyczna – to już prawie czysta matematyka – modele, równania, całki, pochodne. Nie wiem jednak dlaczego uczniowie bardzo często utożsamiają ekonomię z matematyką.

    7.       Co najbardziej ceni Pani w matematyce?

    Jej obiektywność. Nie ma w niej miejsca na subiektywizm, własne interpretacje. 2+2=4 i inaczej być nie może. To różni matematykę od ekonomii – która jest oparta na wielu założeniach, a tzw. prawa ekonomiczne w praktyce  się nie sprawdzają.

    8.       Jak powinna wyglądać nauka matematyki(według Pani), aby była efektywna a  zarazem interesująca dla młodych ludzi?

    Nauka matematyka powinna rozwijać kreatywność, powinna opierać się na tym co przydatne w życiu codziennym. Zadania powinny dawać szansę wykazania się myśleniem twórczym, a nie odtwórczym. Trzeba unikać schematyzmu, choć w matematyce może okazać się to trudne.

    9.       W jaki sposób przekonałaby Pani  młodego człowieka do nauki tego przedmiotu?

    Młodzież powinna sobie uświadomić, że matematyka posłuży w przyszłości do podejmowania decyzji finansowych – np. na jaki kredyt hipoteczny się zdecydować lub jaką lokatę założyć (wartość pieniądza w czasie), w jakie papiery wartościowe opłaca się inwestować, a w jakie nie, jak ocenić ryzyko inwestycyjne i prawdopodobieństwo zysku lub straty, ile się uzbiera na przyszłą emeryturę, jak ustalić wysokość składek na ubezpieczenia społeczne.

                                                                                                                                                                 Dziękujemy

     

    Wywiad młodzieży z nauczycielem przedmiotów zawodowych:

    Dzień dobry. Czy możemy przeprowadzi z Panią wywiad?

    1.       Jak się Pani pracuje w naszej szkole?

    W naszej szkole pracuje mi się bardzo dobrze. Jestem nauczycielem z bardzo długim stażem, jest to moja druga praca. Na początku swojej kariery zawodowej pracowałam w Urzędzie, ale to był tylko krótki epizod. Ta praca jest  bardziej satysfakcjonująca.

    2.       Czy praca z młodzieżą sprawia Pani  przyjemność?

    Oczywiście, praca z młodzieżą to duże codzienne wyzwanie. Pozwala ciągle się rozwijać i na pewno nie jest pracą nudną. Pracując  z młodzież czuję się też młodsza, człowiek się ciągle rozwija, każdy dzień jest inny.

    3.       Jakie cechy ceni sobie Pani najbardziej w uczniach?

    Najbardziej cenię uczciwość, pracowitość i obowiązkowość oraz kreatywność, która obecnie jest tak ważna w życiu.

    4.       Czy matematyka jest potrzebna  w życiu każdego człowieka?

    Tak, uważam, że jest  bardzo potrzebna w życiu każdego człowieka. Każdy z nas na codziennie spotyka się z działaniami matematycznymi, chociażby w sklepie.  Chodzi  tutaj oczywiście o podstawowe działania, ale bez ich znajomości człowiekowi trudniej odnaleźć się w otaczającej rzeczywistości.

    5.       Czy matematyka pomaga zrozumieć  życie?

    Tak ,  ponieważ jest to bardzo konkretna nauka, oparta na logice. Matematyka jest królową wszystkich nauk, czyli pomaga zrozumieć życie.

    6.       Jakie jest zastosowanie matematyki w nauczanym przez Panią przedmiocie?

    Wykorzystuję tą prostą matematykę, ale uczniowie muszą umieć wyliczać procenty oraz rozwiązywać zadania z jedną niewiadomą. Czyli znać działania matematyczne. Jestem nauczycielem technologii gastronomicznej, ale uczę również innych przedmiotów zawodowych i tam także uczniowie muszą korzystać z matematyki.

    7.       Co najbardziej ceni Pani w matematyce?

    To, że jest oparta na logice.

    8.       Jak powinna wyglądać nauka matematyki(według Pani), aby była efektywna a  zarazem interesująca dla młodych ludzi?

    Niestety wymaga ciągłej, systematycznej pracy. Może lepiej  więc nauczać tych działów , które mają zastosowanie w praktyce, aby nie zniechęcać uczniów taką matematyką, której już nie mogą zrozumieć.

    9.       W jaki sposób przekonałaby Pani  młodego człowieka do nauki tego przedmiotu?

    To trudne zadanie, ale należy uświadomić młodym ludziom jak ważną rolę pełni matematyka w naszym życiu.  Czyli potrzebna jest motywacja do nauki i wiara, że nie wszystko od razu jest trudne.

                                                                                                                                                                  Dziękujemy                                                                                                                                                                                                    

     

    Wywiad  młodzieży z nauczycielem chemii

    1. Jak sie Pani pracuje w naszej szkole?

          Bardzo dobrze

    2.      Czy praca z młodzieża sprawia Pani przyjemnośc?

    Tak duża satysfakcja.

    3.      Jakie cech ceni sobie  Pani w uczniach najbardziej?

    Sumiennością, szczerością, zaangażowaniem w Zycie szkoły.

    4.     Czy matematyka jest potrzebna w życiu każdego człowieka?

      Tak

    5.      Czy matematyka pomaga zrozumiec życie?

    Tak, ponieważ główną cechą matematyki jest dedukcja. Wnioskowanie co jest istotne w poznawaniu innych nauk ścisłych i humanistycznych.

    6.      Jakie jest zastosowanie matematyki w nauczanym przez Panią przedmiocie?

    Obliczania matematyczne są konieczne  do zbadania ważnych pojęć w chemii. Korzystam z matematyki w prostych równaniach takich jak mol , masa molowa.

    7.     Co najbardziej ceni Pani w matematyce?

      Najbardziej cenię logikę, niezmienność, wszechstronność, w zastosowaniu w innych dziedzinach.

    8.    Jak powinna wyglądac nauka matematyki(według Pani), aby była efektywna a zarazem interesująca dla młodych ludzi?

       Na lekcjach pokazanie uczniom zastosowanie matematyki w życiu codziennym i zastosowanie nowych technologii.

    9.  W jaki sposób przekonałaby Pani młodego człowieka do nuaki tego przedmiotu?

         Pokazanie uczniom, że matematyka nie jest wcale taka zła i straszna. Informację wynikają jednej z drugiej co zmusza do systematyczności uczy wytrwałości do celu rozwija wyobraźnię co może być przydatne w zaprojektowaniu swojego domu, ogrodu. Matematyka uczy logicznego myślenia co ułatwia i skróca naukę.

                                                                                                                                                                                                           Dziękujemy

     

    Wywiad młodzieży z nauczycielem fizyki:

    1.  Czy matematyka jest potrzebna w życiu każdego człowieka?

    Według mnie matematykajest bardzo potrzebna w życiu każdego człowieka. Matematyka jest uważana z królową nauk.
    Najważniejszym argumentem chyba jest to, że bez matematyki nie dałoby się żyć. Na przykład nie dalibyśmy sobie  rady z policzeniem najprostszego zadania, który oparty jest na matematyce. W każdej dziedzinie życia jest jakiś element z matematyki, przykładowo w informatyce stosowane są algorytmy, w fizyce wzory itp.
    Kolejnym argumentem jest to, że matematyka przydaje się bardzo w życiu każdego człowieka. Matematyka pomaga na przykład policzyć ile mamy pieniędzy, pole powierzchni działki pod budowę naszego domu itp.
    Matematyka jest bardzo potrzebna w życiu każdego człowieka. Bez niej nie dalibyśmy rady poprawnie funkcjonować. Ta dziedzina nauki jest bardzo pożyteczna niemal w każdej sytuacji w naszym życiu.

    2.       Czy matematyka pomaga zrozumieć  życie?

    Oczywiście, że tak! Pozwala godnie żyć, rozwijać w sobie zdolność poprawnej dedukcji, logicznego i analitycznego myślenia i rozumieć otaczający nas świat.

    Każdy z nas w swoim życiu stale coś dodaje, odejmuje, mnoży czy dzieli, bądź wykonuje bardziej skomplikowane rachunki. Ale żeby to robił z sensem musi posiadać na ich temat niezbędną wiedzę.

    3  .     Jakie jest zastosowanie matematyki w nauczanym przez Panią przedmiocie?

    Matematyka jest językiem fizyki. Żeby prawidłowo opisać dane zjawisko potrzebna jest matematyka i to nie tylko do ilościowego opisania zjawisk i praw ale także ich opisu jakościowego.

     4.     Co najbardziej ceni Pani w matematyce?

    W matematyce cenię sobie najbardziej jej stanowczość i precyzję.

    5.      Jak powinna wyglądać nauka matematyki(według Pani), aby była efektywna a  zarazem interesująca dla młodych ludzi?

    Powinno być więcej czasu na przykłady z życia i dużo  ćwiczeń.

    6. W jakich działach fizyki zastosowanie ma matematyka?

    We wszystkich działach fizyki mamy do czynienia z obliczeniami i wzorami więc we wszystkich działach napotykamy na zagadnienia matematyczne. Matematyka i fizyka są bardzo potrzebnymi przedmiotami. Matematyka ma zastosowanie w każdej dziedzinie życia a fizyka potrafi opisywać zjawiska które nas otaczają, z którymi stykamy się na co dzień i te nad którymi pracuje się w laboratoriach i obserwuje we wszechświecie.

     

    7.       W jaki sposób przekonałaby Pani  młodego człowieka do nauki tego przedmiotu?

    Dzięki niej osiągnęliśmy wysoki poziom rozwoju techniki i możemy udoskonalać urządzenia i maszyny potrzebne w życiu codziennym. To fizyka daje nam odpowiedź jak dane urządzenie działa i jak je użytkować

    Matematyka ma zastosowanie i w teoretycznych obliczeniach jak i praktycznych doświadczeniach do których zawsze oblicza się rachunek błędu.

                                                                                                                                                                                                            Dziękujemy

     

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 30-06-2012 10:11:02

    Wywiady z pracownikami różnych zakładów pracy

    Matematyka w zawodach naszych rodziców, wujków, dziadków, znajomych…

     

    W zawodzie  magistra  farmaceuty matematyka przydaje się m.in. przy:

    - recepturze, czyli  sporządzaniu leków

    - obliczaniu rabatów i promocji

    - przeprowadzaniu remanentu

    - wprowadzaniu cen do komputera

    - sprzedaży leków

    - wyliczaniu dawki leków

    - odmierzaniu składników różnych maści

    - obliczaniu cen, sumy leków, wydawania reszty

    -wypisywaniu paragonów i faktur

    -Odczytywaniu dawkowania leków

    -wypłacaniu pensji pracownikom

    - obliczaniu podatku od dochodów

     

    W zawodzie sprzedawcy matematyka ma zastosowanie:

    - przy fakturach zakupów

    - przy obliczeniach obniżek cen

    -przy obliczeniach marży

    - w zestawieniach dziennych z komputera

    - w towarach( każdy towar ma swój kod)

    - przy pomocy klientom w obliczeniach ilości potrzebnego produktu na m2

     

     

    Wyniki wywiadu przeprowadzonego wśród pracowników księgowości, rachunkowości:

                     1.     Czy matematyka jest potrzebna w Pani /Pana pracy? Jeśli tak to do czego?

    Moja praca związana jest z budową i modernizacją inwestycji, w której nieodzownie jest wykorzystywana matematyka oraz jej pokrewne dziedziny jak np. statystyka, ekonometria, metody operacyjne i inne.

    Budowa jakiegokolwiek obiektu narzuca pewną kolejność działań, a mianowicie:

    Na jakim terenie ma powstać obiekt, w jakim czasie ma być zbudowany oraz ile będzie kosztować jego wybudowanie i jakie będzie przynosić zyski.

    2.       Jakie zastosowanie ma matematyka w Pani /Pana zawodzie?

    W moim zawodzie specjalisty rachunkowości i finansów matematyka oraz jej pokrewne dziedziny maja ogromne znaczenie. Przede wszystkim w prognozowaniu planu inwestycyjno- finansowego, wykonywaniu w arkuszu kalkulacyjnym excel różnego rodzaju zestawień i wykresów, jak również przy zawieraniu umów z dostawcami, rozliczaniu faktur, zaciąganiu kredytów oraz ich spłaty.

     

    3.       Czy są zawody  (według Pani Pana), w których nie wykorzystuje się matematyki?

    Osobiście nie znam takiego zawodu w którym nie byłby wykorzystywana na obecnie czasy matematyka, ale można powiedzieć że są zawody w których jej stopień wykorzystania jest nieco mniejszy.

     

    4.       Jakie są zagrożenia płynące z nieznajomości matematyki?

    Boję się pomyśleć czym grozi nieznajomość matematyki np. w wojsku, lotnictwie cywilnym, medycynie, w finansach a tym bardziej w różnego rodzaju instytutach naukowych w których prowadzone są doświadczenie itd. Powstałby ogromny chaos i niebezpieczeństwo dla ludzkości oraz w gałęziach gospodarczych.

     

     

     

     

     

     

    Drukuj artykuł
    Ewa Wallis, Aktualizacja: 30-06-2012 10:22:54